Cos'è paradosso del compleanno?

Il Paradosso del Compleanno

Il paradosso del compleanno afferma che in un insieme di n persone scelte casualmente, la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno è sorprendentemente alta, anche per valori relativamente piccoli di n. Questo risultato è controintuitivo per molte persone, da cui il termine "paradosso".

Spiegazione:

La ragione per cui la probabilità è così alta è che stiamo confrontando ogni persona con tutte le altre persone nel gruppo. Non stiamo semplicemente cercando la probabilità che una persona corrisponda a una data data (es. il 1° gennaio). Stiamo cercando la probabilità che qualsiasi coppia di persone condivida un compleanno.

Calcolo della Probabilità:

È più facile calcolare la probabilità dell'evento complementare: la probabilità che nessuna persona condivida un compleanno. Poi, sottraiamo questa probabilità da 1 per ottenere la probabilità che almeno due persone condividano un compleanno.

Supponiamo che ci siano 365 giorni in un anno (ignorando gli anni bisestili per semplicità).

  • La prima persona può avere un compleanno in uno qualsiasi dei 365 giorni.
  • La seconda persona deve avere un compleanno diverso dalla prima persona, quindi ha 364 giorni possibili.
  • La terza persona deve avere un compleanno diverso dalle prime due persone, quindi ha 363 giorni possibili.
  • E così via...

La probabilità che nessuno condivida un compleanno in un gruppo di n persone è:

P(nessuno%20condivide%20il%20compleanno) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (365 - n + 1)/365

Quindi, la probabilità che almeno due persone condividano un compleanno è:

P(almeno%20due%20condividono%20il%20compleanno) = 1 - P(nessuno%20condivide%20il%20compleanno)

Esempio:

  • Con 23 persone, la probabilità che almeno due condividano un compleanno è superiore al 50%.
  • Con 70 persone, la probabilità è superiore al 99.9%.

Applicazioni:

Il paradosso del compleanno ha applicazioni in varie aree, tra cui:

  • Informatica: Usato per analizzare collisioni di hash.
  • Statistica: Usato per comprendere la probabilità di eventi rari.
  • Crittografia: Usato per analizzare la sicurezza di alcune funzioni hash.

Concetti Chiave: